Transición de fase en redes aleatorias
3.5. Transición de fase en redes aleatorias#
En la introducción a las redes aleatorias se lanzó la pregunta de qué condición deben cumplir \(N\) y \(p\) para que, con alta probabilidad, se tenga una red conectada. Resulta intuitivo que mientras mayor sea la probabilidad de enlace \(p\) más probable es que la red tenga una sola componente; menos intuitivo, pero también es fácil ver que mientras mayor sea el tamaño de la red \(N\) es más probable que ésta sea conexa.
Para hacer un análisis más cuantitativo, se proporciona un notebook que introduce el análisis del tamaño de la máxima componente promedio para un ensemble de redes aleatorias, confirmando el resultado obtenido por Erdős-Renyi y presentado por Barabasi en la sección 3.6 de su libro.
Aquí, se observa que la red aleatoria posee una componente gigante (cuyo tamaño es comparable con el número de nodos de la red) a partir de que \(N\) y \(p\) cumplen
teniendo, en el límite \(N→∞\), una transición de fase en \(⟨k⟩=1\), analizada por Erdős y Renyi en su artículo de 1959. Para un análisis más detallado de la transición de fase se recomienda el apartado 12.5 (Giant component) del libro de Newman. Estos análisis arrojan que el tamaño de la máxima componente es igual a \(N\) con alta probabilidad cuando se cumple la condición \(⟨k⟩≥\ln N\) que sería la respuesta a la pregunta del cuestionario introductorio.
En el notebook, para optimizar el tiempo de cálculo, se juega con el tamaño de los ensembles y el tamaño de la red pues para redes con muchos nodos, networkx tarda en correr los algoritmos de selección de componentes. En él encontrarán el comportamiento de las redes para \(N\) en cinco órdenes de magnitud.